Le triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Il est la base de nombreuses propriétés géométriques et du célèbre théorème de Pythagore. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître un triangle rectangle, à utiliser le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs, et à appliquer la trigonométrie pour trouver des angles ou des côtés.
1Définition et propriétés
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le côté le plus long du triangle rectangle.
Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit.
Propriété : Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est égale à 90°.
À retenir
L'hypoténuse est toujours le côté le plus long et se trouve en face de l'angle droit.
2Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles. Il permet de calculer la longueur d'un côté quand on connaît les deux autres.
Énoncé : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC².
Réciproque : Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Astuce
Pour appliquer la réciproque, il faut d'abord identifier le plus grand côté et vérifier l'égalité.
3Trigonométrie dans le triangle rectangle
La trigonométrie permet de calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle. Les trois rapports trigonométriques principaux sont :
- Sinus d'un angle aigu = côté opposé / hypoténuse
- Cosinus d'un angle aigu = côté adjacent / hypoténuse
- Tangente d'un angle aigu = côté opposé / côté adjacent
Pour retenir : SOH CAH TOA (Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent).
Moyen mnémotechnique
SOH CAH TOA : Sinus Opposé Hypoténuse, Cosinus Adjacent Hypoténuse, Tangente Opposé Adjacent.
4Méthodes à appliquer
Méthode 1 : Calculer une longueur avec Pythagore
- Identifier l'hypoténuse (côté le plus long, opposé à l'angle droit).
- Écrire l'égalité : hypoténuse² = côté1² + côté2².
- Remplacer par les valeurs connues.
- Calculer le carré manquant, puis prendre la racine carrée.
Méthode 2 : Démontrer qu'un triangle est rectangle (réciproque)
- Calculer le carré du plus grand côté.
- Calculer la somme des carrés des deux autres côtés.
- Si les deux résultats sont égaux, alors le triangle est rectangle (avec l'angle droit opposé au plus grand côté).
Méthode 3 : Calculer un angle avec la trigonométrie
- Identifier le côté opposé, adjacent et l'hypoténuse par rapport à l'angle cherché.
- Choisir le bon rapport (sin, cos, tan) selon les données.
- Écrire l'égalité, puis utiliser la fonction inverse (arcsin, arccos, arctan) sur la calculatrice.
Attention
Ne confonds pas côté adjacent et opposé. Le côté adjacent est celui qui touche l'angle (sans être l'hypoténuse).
L'essentiel à retenir
- Un triangle rectangle a un angle droit ; l'hypoténuse est le côté le plus long.
- Le théorème de Pythagore : hypoténuse² = somme des carrés des deux autres côtés.
- La réciproque du théorème de Pythagore permet de prouver qu'un triangle est rectangle.
- Les rapports trigonométriques (sin, cos, tan) relient les côtés et les angles aigus.
- SOH CAH TOA est un moyen mnémotechnique pour retenir les rapports.
