Les formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, on nomme les côtés par rapport à un angle aigu (par exemple l'angle Â) :

• L'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit, c'est le plus long côté.
• Le côté adjacent : le côté qui touche l'angle  et qui n'est pas l'hypoténuse.
• Le côté opposé : le côté qui est en face de l'angle Â.

Pour un angle aigu  :

• Sinus de  = longueur du côté opposé ÷ longueur de l'hypoténuse.
• Cosinus de  = longueur du côté adjacent ÷ longueur de l'hypoténuse.
• Tangente de  = longueur du côté opposé ÷ longueur du côté adjacent.

Pour un angle aigu  (entre 0° et 90°) :

• 0 < sin(Â) < 1
• 0 < cos(Â) < 1
• tan(Â) > 0
• Relation fondamentale : sin²(Â) + cos²(Â) = 1
• tan(Â) = sin(Â) / cos(Â)

Pour calculer une longueur :

1. Repère l'angle aigu connu.
2. Identifie les côtés connus et cherchés (opposé, adjacent, hypoténuse).
3. Choisis la formule qui relie ces trois grandeurs.
4. Écris l'égalité, puis isole la longueur inconnue.
5. Effectue le calcul (utilise la calculatrice en mode degré).

Pour calculer un angle :

1. Repère les deux côtés connus par rapport à l'angle cherché.
2. Choisis la formule qui utilise ces deux côtés.
3. Écris l'égalité, puis utilise la touche inverse (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹) pour obtenir l'angle.

Énoncé : Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît : AB = 5 cm (côté adjacent à l'angle A), AC = 13 cm (hypoténuse). Calcule cos(A) puis l'angle A.

Correction :

1. On identifie : angle A, côté adjacent = AB = 5 cm, hypoténuse = AC = 13 cm.

2. On utilise cos(A) = adjacent / hypoténuse = 5 / 13.

3. cos(A) ≈ 0,3846 (arrondi au millième).

4. Pour trouver l'angle A, on utilise la touche cos⁻¹ : A = cos⁻¹(5/13).

5. A ≈ 67,38° (arrondi au centième).