Le cercle trigonométrique est un outil essentiel pour étudier les angles et les fonctions sinus et cosinus. Il permet de visualiser les valeurs de ces fonctions pour n'importe quel angle. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à le construire, à placer un angle et à lire les valeurs de sinus et cosinus.
1Définition du cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé (O; I, J).
- Le point I est à droite : coordonnées (1 ; 0).
- Le point J est en haut : coordonnées (0 ; 1).
- Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique).
Un angle se mesure en degrés ou en radians. Un tour complet correspond à 360° ou 2π radians.
À retenir
Rayon = 1. Sens positif : inverse des aiguilles d'une montre. 360° = 2π rad.
2Placer un angle sur le cercle
Pour placer un angle de mesure α (en degrés ou radians), on part du point I et on tourne dans le sens positif de l'angle α.
- Si α est positif, on tourne dans le sens trigonométrique.
- Si α est négatif, on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre.
Le point M sur le cercle correspondant à l'angle α a pour coordonnées (cos α ; sin α).
Astuce
Pour les angles remarquables (0°, 30°, 45°, 60°, 90°), apprends les valeurs exactes de cos et sin.
3Sinus et cosinus d'un angle
Soit M le point du cercle trigonométrique associé à un angle α.
- Le cosinus de α est l'abscisse de M : cos α = xM.
- Le sinus de α est l'ordonnée de M : sin α = yM.
Propriétés :
- Pour tout angle α, on a : (cos α)² + (sin α)² = 1.
- Les valeurs de cos α et sin α sont comprises entre -1 et 1.
À retenir
cos α = abscisse, sin α = ordonnée. (cos α)² + (sin α)² = 1.
4Angles remarquables
Voici les valeurs exactes à connaître pour les angles en degrés (et radians) :
- 0° (0 rad) : cos = 1, sin = 0
- 30° (π/6) : cos = √3/2, sin = 1/2
- 45° (π/4) : cos = √2/2, sin = √2/2
- 60° (π/3) : cos = 1/2, sin = √3/2
- 90° (π/2) : cos = 0, sin = 1
Ces valeurs se retrouvent facilement avec un dessin du cercle.
Attention
Ne confonds pas cos et sin : pour 30°, cos est plus grand que sin (√3/2 > 1/2).
5Lien avec la trigonométrie du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
- cos α = côté adjacent / hypoténuse
- sin α = côté opposé / hypoténuse
Sur le cercle trigonométrique, l'hypoténuse est le rayon (1). Donc cos α et sin α sont directement les longueurs des côtés.
Pour aller plus loin
Cette relation permet de passer du triangle rectangle au cercle trigonométrique.
L'essentiel à retenir
- Le cercle trigonométrique a un rayon de 1 et est centré à l'origine.
- Un angle se mesure en degrés ou radians ; le sens positif est inverse des aiguilles d'une montre.
- Les coordonnées d'un point M sur le cercle sont (cos α ; sin α).
- La relation fondamentale : (cos α)² + (sin α)² = 1.
- Les valeurs des angles remarquables (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) sont à connaître par cœur.
