Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est déjà produit. Par exemple, quelle est la probabilité qu'il pleuve sachant que le ciel est nuageux ? Ce chapitre t'apprendra à utiliser la formule clé et à construire des arbres de probabilités.
1Définition et notation
Soient A et B deux événements. La probabilité conditionnelle de A sachant B, notée P(A | B), se lit « probabilité de A sachant B ». Elle représente la probabilité que A se réalise, sachant que B est déjà réalisé.
Formule : P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), avec P(B) ≠ 0.
Ici, A ∩ B est l'intersection des événements A et B (les issues qui réalisent à la fois A et B).
Attention
P(B) doit être non nulle. Si P(B) = 0, la probabilité conditionnelle n'est pas définie.
2Arbre de probabilités
Un arbre de probabilités permet de visualiser les probabilités conditionnelles. Sur chaque branche, on note la probabilité de l'événement sachant le chemin parcouru.
- La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Astuce
Pour vérifier ton arbre, assure-toi que les probabilités au deuxième niveau (conditionnelles) sont cohérentes avec les données de l'énoncé.
3Probabilité de l'intersection
À partir de la formule conditionnelle, on peut exprimer la probabilité de l'intersection : P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B).
Cette formule est très utile pour remplir un arbre ou calculer une probabilité conjointe.
À retenir
P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B) = P(A) × P(B | A).
4Événements indépendants
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Mathématiquement : P(A | B) = P(A) (ou P(B | A) = P(B)).
Conséquence : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Si cette égalité n'est pas vérifiée, les événements sont dits dépendants.
Piège
Ne confonds pas indépendance et incompatibilité. Deux événements incompatibles (A ∩ B = ∅) ne sont jamais indépendants (sauf si l'un est de probabilité nulle).
L'essentiel à retenir
- La probabilité conditionnelle P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).
- Un arbre de probabilités aide à visualiser les dépendances.
- La probabilité d'une intersection se calcule par P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B).
- Deux événements sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
