En mathématiques, on utilise souvent des multiplications répétées. Par exemple, multiplier 2 par lui-même 5 fois s'écrit 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Pour écrire plus court, on utilise la puissance. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à lire, écrire et calculer des puissances.
1Définition d'une puissance
Une puissance est une écriture simplifiée d'une multiplication répétée du même nombre.
Si a est un nombre et n un entier positif, alors an = a × a × ... × a (n facteurs).
- a s'appelle la base.
- n s'appelle l'exposant.
Exemple : 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. La base est 2, l'exposant est 5.
À retenir
a<sup>n</sup> se lit « a puissance n » ou « a exposant n ».
2Cas particuliers : puissance 1, puissance 2, puissance 3
Quand l'exposant est 1, le résultat est la base elle-même : a1 = a.
Quand l'exposant est 2, on dit « au carré » : a2 = a × a.
Quand l'exposant est 3, on dit « au cube » : a3 = a × a × a.
Exemples : 71 = 7 ; 42 = 4 × 4 = 16 ; 23 = 2 × 2 × 2 = 8.
Astuce
Le carré et le cube sont liés aux figures géométriques : le carré pour l'aire, le cube pour le volume.
3Puissances de 10
Les puissances de 10 sont très utiles pour écrire de grands nombres.
101 = 10 ; 102 = 100 ; 103 = 1000 ; 104 = 10000, etc.
Règle : 10n = 1 suivi de n zéros.
Exemple : 106 = 1 000 000 (1 million).
À retenir
10<sup>n</sup> = 1 suivi de n zéros.
4Opérations avec les puissances (même base)
Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants : am × an = am+n.
Exemple : 23 × 24 = 23+4 = 27 = 128.
Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants : am ÷ an = am−n (avec a ≠ 0).
Exemple : 56 ÷ 52 = 56−2 = 54 = 625.
Attention
Ces règles ne s'appliquent que si les bases sont identiques. Sinon, il faut calculer chaque puissance séparément.
5Priorité des opérations avec les puissances
Dans un calcul, la puissance est prioritaire sur la multiplication et la division, mais après les parenthèses.
Ordre : 1. Parenthèses ; 2. Puissances ; 3. Multiplications et divisions ; 4. Additions et soustractions.
Exemple : 3 + 2 × 42 = 3 + 2 × 16 = 3 + 32 = 35.
L'essentiel à retenir
- Une puissance est une multiplication répétée : a<sup>n</sup> = a × a × ... × a (n facteurs).
- a<sup>1</sup> = a ; a<sup>2</sup> se lit « a au carré » ; a<sup>3</sup> se lit « a au cube ».
- 10<sup>n</sup> = 1 suivi de n zéros.
- Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants.
- Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants.
- Dans un calcul, on effectue d'abord les puissances (après les parenthèses).
