Le raisonnement par l'absurde est une méthode de démonstration logique. Pour prouver qu'une affirmation est vraie, on suppose qu'elle est fausse. On montre alors que cette supposition conduit à une contradiction. Puisque la contradiction est impossible, l'affirmation de départ est vraie.
1Principe du raisonnement par l'absurde
Le raisonnement par l'absurde repose sur le principe de non-contradiction : une affirmation et son contraire ne peuvent pas être vraies en même temps.
Étapes :
- On veut démontrer une proposition P.
- On suppose le contraire : non P.
- On raisonne à partir de cette supposition.
- On aboutit à une contradiction (par exemple, on trouve à la fois A et non A).
- On conclut que la supposition non P est fausse, donc P est vraie.
Attention : la contradiction doit être logique, pas une simple surprise.
À savoir
Le raisonnement par l'absurde est aussi appelé <em>reductio ad absurdum</em>.
2Exemple simple : démontrer que √2 est irrationnel
On veut montrer que √2 n'est pas un nombre rationnel (on ne peut pas l'écrire comme une fraction).
Supposons le contraire : √2 est rationnel. Alors il existe deux entiers a et b (b ≠ 0) premiers entre eux tels que √2 = a/b.
En élevant au carré : 2 = a²/b², donc a² = 2b².
a² est pair, donc a est pair. On écrit a = 2k. Alors (2k)² = 2b² → 4k² = 2b² → b² = 2k². Donc b² est pair, donc b est pair.
a et b sont tous deux pairs, donc ils ont un facteur commun 2. Cela contredit l'hypothèse qu'ils sont premiers entre eux.
Conclusion : la supposition est fausse, donc √2 est irrationnel.
À retenir
Dans une démonstration par l'absurde, la contradiction doit être explicite et claire.
3Méthode générale
Pour appliquer le raisonnement par l'absurde :
- Identifie la proposition P à démontrer.
- Écris clairement la négation de P (non P).
- Suppose que non P est vraie.
- Déduis des conséquences logiques jusqu'à obtenir une contradiction.
- Conclus que non P est impossible, donc P est vraie.
La contradiction peut être : une affirmation fausse, deux affirmations opposées, ou un résultat contraire à une hypothèse.
Attention
Ne confonds pas raisonnement par l'absurde et démonstration directe. Ici, on suppose le contraire de ce qu'on veut prouver.
4Exemple : démontrer qu'il n'existe pas de plus grand entier
On veut montrer : « Il n'existe pas d'entier maximum ».
Supposons le contraire : il existe un plus grand entier, noté N. Alors N est le plus grand de tous les entiers.
Considérons N+1. C'est un entier. De plus, N+1 > N. Donc N n'est pas le plus grand entier, car N+1 est plus grand. Contradiction.
Conclusion : la supposition est fausse, donc il n'existe pas de plus grand entier.
5Quand utiliser ce raisonnement ?
Le raisonnement par l'absurde est utile quand :
- La proposition à démontrer est une négation (« il n'existe pas », « aucun », « pas de »).
- La démonstration directe est difficile ou longue.
- On peut facilement déduire une contradiction à partir de la négation.
Il est souvent utilisé en arithmétique, en géométrie et en logique.
Remarque
Toute proposition peut être démontrée par l'absurde, mais ce n'est pas toujours la méthode la plus simple.
L'essentiel à retenir
- Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut démontrer.
- On montre que cette supposition conduit à une contradiction logique.
- La contradiction prouve que la supposition est fausse, donc la proposition initiale est vraie.
- Il est particulièrement adapté pour démontrer des négations ou des propriétés d'existence.
- Exemples classiques : irrationalité de √2, inexistence d'un plus grand entier.
