La logique propositionnelle est le fondement du raisonnement mathématique. Elle te permet de comprendre comment les énoncés s'articulent entre eux, de distinguer le vrai du faux et de construire des démonstrations solides. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à manipuler les propositions, les connecteurs logiques et les tables de vérité.
1Propositions et valeurs de vérité
Une proposition est un énoncé déclaratif qui est soit vrai, soit faux. On ne peut pas lui attribuer les deux à la fois.
Exemples :
- « 2 + 2 = 4 » est une proposition vraie.
- « 3 < 1 » est une proposition fausse.
- « Quelle heure est-il ? » n'est pas une proposition (c'est une question).
La valeur de vérité d'une proposition est VRAI (V) ou FAUX (F).
À retenir
Une proposition ne peut être que vraie ou fausse, pas les deux.
2Connecteurs logiques
Les connecteurs logiques permettent de combiner des propositions pour en former de nouvelles.
- Négation (non) : notée ¬P. Vraie si P est fausse, fausse si P est vraie.
- Conjonction (et) : notée P ∧ Q. Vraie seulement si P et Q sont toutes les deux vraies.
- Disjonction (ou) : notée P ∨ Q. Vraie si au moins l'une des deux est vraie.
- Implication (si... alors) : notée P ⇒ Q. Fausse seulement si P est vraie et Q est fausse.
- Équivalence (si et seulement si) : notée P ⇔ Q. Vraie si P et Q ont la même valeur de vérité.
Attention
L'implication P ⇒ Q n'est pas une relation de cause à effet. Elle est vraie dès que P est fausse, même si Q est fausse.
3Tables de vérité
Une table de vérité liste toutes les combinaisons possibles des valeurs de vérité des propositions et donne la valeur de la proposition composée.
Exemple pour la conjonction :
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Tu dois savoir construire la table de vérité de n'importe quelle expression logique.
Méthode
Pour une expression avec n propositions, il y a 2^n lignes dans la table de vérité.
4Équivalences logiques importantes
Deux propositions sont logiquement équivalentes si elles ont la même table de vérité.
- Lois de De Morgan : ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q et ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q
- Contraposée : P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P
- Négation d'une implication : ¬(P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q
Ces équivalences sont très utiles pour simplifier des expressions ou démontrer des résultats.
Astuce
Pour vérifier une équivalence, construis les tables de vérité des deux côtés et compare-les.
L'essentiel à retenir
- Une proposition est un énoncé vrai ou faux.
- Les connecteurs logiques sont : non (¬), et (∧), ou (∨), implique (⇒), équivaut (⇔).
- Une table de vérité donne la valeur d'une proposition composée pour toutes les combinaisons.
- Deux propositions sont équivalentes si elles ont la même table de vérité.
- Les lois de De Morgan et la contraposée sont des équivalences utiles.
