La trigonométrie permet de calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle. Tu vas découvrir trois nouveaux outils : le sinus, le cosinus et la tangente. Ces rapports relient les côtés du triangle à un angle aigu.
1Définitions des trois rapports
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu (par exemple l'angle Â), on nomme les côtés ainsi :
- Hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit, le plus long.
- Côté adjacent : le côté qui touche l'angle  sans être l'hypoténuse.
- Côté opposé : le côté qui fait face à l'angle Â.
Les trois rapports sont :
- Sinus de  = côté opposé / hypoténuse
- Cosinus de  = côté adjacent / hypoténuse
- Tangente de  = côté opposé / côté adjacent
On écrit : sin(Â), cos(Â), tan(Â).
Moyen mnémotechnique
SOH CAH TOA : Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent.
2Propriétés importantes
Pour un angle aigu dans un triangle rectangle :
- Le sinus et le cosinus sont toujours compris entre 0 et 1.
- La tangente peut être plus grande que 1.
- On a la relation : sin²(Â) + cos²(Â) = 1.
À savoir
Ces rapports ne dépendent que de l'angle, pas de la taille du triangle.
3Méthodes pour calculer une longueur ou un angle
Calculer une longueur :
- Repère l'angle aigu connu.
- Identifie le côté connu et le côté cherché (opposé, adjacent, hypoténuse).
- Choisis le bon rapport (sin, cos ou tan) qui relie ces deux côtés.
- Écris l'égalité, puis isole la longueur inconnue.
- Utilise la calculatrice pour obtenir la valeur.
Calculer un angle :
- Connais deux côtés du triangle rectangle.
- Choisis le rapport qui utilise ces deux côtés.
- Écris l'égalité : sin(Â) = ... , cos(Â) = ... ou tan(Â) = ...
- Utilise la touche inverse (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹) de la calculatrice pour trouver l'angle.
4Exemple corrigé
Énoncé : Dans le triangle ABC rectangle en B, on a AB = 5 cm, BC = 12 cm. Calcule la longueur AC (hypoténuse) et l'angle Â.
Étape 1 : On connaît les deux côtés de l'angle droit : AB (adjacent à Â) et BC (opposé à Â). On cherche l'hypoténuse AC.
Étape 2 : On utilise le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, donc AC = √169 = 13 cm.
Étape 3 : Pour l'angle Â, on peut utiliser le sinus : sin(Â) = côté opposé / hypoténuse = BC / AC = 12 / 13 ≈ 0,9231.
Étape 4 : Avec la calculatrice, sin⁻¹(0,9231) ≈ 67,38°. Donc  ≈ 67°.
Attention
Vérifie que ta calculatrice est en mode degrés (DEG), pas en radians.
5Erreurs fréquentes
- Confondre côté adjacent et côté opposé : le côté adjacent est celui qui touche l'angle, pas l'hypoténuse.
- Utiliser le mauvais rapport : par exemple, utiliser le cosinus quand on a l'opposé et l'hypoténuse.
- Oublier de vérifier le mode degré : la calculatrice doit être en degrés.
- Ne pas simplifier les fractions : laisse le résultat sous forme fractionnaire ou décimale exacte.
L'essentiel à retenir
- Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse.
- Le cosinus est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.
- La tangente est le rapport du côté opposé au côté adjacent.
- On utilise ces rapports pour calculer une longueur ou un angle.
- La calculatrice doit être en mode degrés pour les calculs d'angles.
