Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dans un triangle quand on a deux droites parallèles. Tu l'utiliseras souvent en géométrie. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à le reconnaître et à l'appliquer.
1Configuration de Thalès
Le théorème de Thalès s'applique dans un triangle coupé par une droite parallèle à un côté.
Soit un triangle ABC. On place un point M sur le côté AB et un point N sur le côté AC. Si la droite (MN) est parallèle à (BC), alors on a :
- AM / AB = AN / AC = MN / BC
Cette configuration s'appelle la configuration de Thalès.
À retenir
Les deux triangles sont emboîtés : le petit triangle AMN est dans le grand triangle ABC.
2Énoncé du théorème
Théorème de Thalès : Dans un triangle ABC, si M est un point de (AB), N un point de (AC) et si (MN) est parallèle à (BC), alors :
- AM / AB = AN / AC = MN / BC
Ces trois rapports sont égaux.
Attention
Les longueurs doivent être mesurées dans la même unité.
3Méthode pour calculer une longueur
Pour appliquer le théorème, suis ces étapes :
- Vérifie que tu as bien un triangle avec une droite parallèle à un côté.
- Repère les trois rapports : AM/AB, AN/AC, MN/BC.
- Remplace les longueurs connues par leurs valeurs.
- Écris l'égalité de deux rapports contenant la longueur cherchée.
- Utilise le produit en croix pour trouver la valeur inconnue.
Erreur fréquente
Ne confonds pas les côtés : le rapport doit toujours mettre en jeu les longueurs du petit triangle sur celles du grand.
4Exemple corrigé
Énoncé : Dans le triangle ABC, M est sur AB, N sur AC, (MN) // (BC). On donne AB = 8 cm, AM = 3 cm, AC = 6 cm. Calcule AN.
Correction :
- On a la configuration de Thalès : (MN) // (BC).
- On écrit l'égalité : AM/AB = AN/AC.
- On remplace : 3/8 = AN/6.
- Produit en croix : 3 × 6 = 8 × AN → 18 = 8 × AN.
- Donc AN = 18 / 8 = 2,25 cm.
5Réciproque du théorème de Thalès
La réciproque permet de montrer que deux droites sont parallèles.
Réciproque : Dans un triangle ABC, si M est sur (AB), N sur (AC) et si AM/AB = AN/AC (avec les points dans le même ordre), alors (MN) est parallèle à (BC).
Attention : les points doivent être alignés dans le même ordre (A, M, B et A, N, C).
Condition
Il faut aussi que les points M et N soient distincts de A.
L'essentiel à retenir
- Le théorème de Thalès s'applique dans un triangle avec une droite parallèle à un côté.
- Les rapports égaux sont : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- On utilise le produit en croix pour calculer une longueur inconnue.
- La réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles.
