La symétrie centrale est une transformation géométrique. Elle permet de construire l'image d'une figure en effectuant un demi-tour autour d'un point fixe appelé centre de symétrie. Tu vas apprendre à tracer l'image d'un point, d'un segment, d'une droite et d'une figure simple.
1Définition et propriétés
Soit O un point du plan. On appelle symétrie centrale de centre O la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que O soit le milieu du segment [MM'].
Propriétés :
- Le symétrique du centre O est lui-même (O est invariant).
- La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, l'alignement et les aires.
- L'image d'une droite est une droite parallèle.
- L'image d'un segment est un segment de même longueur et parallèle.
À retenir
Le centre O est le milieu du segment reliant un point et son image.
2Construire l'image d'un point
Pour construire le symétrique M' d'un point M par rapport à un centre O :
- Trace la demi-droite [MO).
- Mesure la distance OM avec un compas.
- Reporte cette distance de l'autre côté de O, sur la demi-droite [MO). Le point obtenu est M'.
On peut aussi utiliser une règle graduée : on place O au milieu de [MM'].
3Construire l'image d'une figure
Pour construire l'image d'une figure par symétrie centrale de centre O :
- Construis l'image de chaque point remarquable (sommets, centre du cercle, etc.).
- Relie les points images dans le même ordre.
- Pour un cercle : le centre image est le symétrique du centre, le rayon est conservé.
Exemple : l'image d'un triangle ABC par rapport à O est le triangle A'B'C' où A', B', C' sont les symétriques de A, B, C.
Attention
Ne confonds pas symétrie centrale et symétrie axiale. La symétrie centrale est un demi-tour, la symétrie axiale est un pliage.
4Propriétés de conservation
La symétrie centrale conserve :
- les longueurs (un segment et son image ont la même longueur) ;
- les angles (l'image d'un angle a la même mesure) ;
- l'alignement (si trois points sont alignés, leurs images le sont aussi) ;
- les aires (une figure et son image ont la même aire).
De plus, l'image d'une droite est une droite parallèle à la droite d'origine.
À retenir
L'image d'une droite par symétrie centrale est une droite parallèle.
L'essentiel à retenir
- La symétrie centrale de centre O associe à tout point M le point M' tel que O soit le milieu de [MM'].
- Pour construire l'image d'un point, on reporte la distance OM de l'autre côté de O.
- L'image d'une figure se construit point par point.
- La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, l'alignement et les aires.
- L'image d'une droite est une droite parallèle.
