Dans ce chapitre, tu vas apprendre à faire tourner une figure autour d'un point fixe. C'est comme si tu faisais pivoter une image autour d'un clou. On appelle cela une rotation. Tu verras comment construire l'image d'un point, d'un segment ou d'une figure entière.
1Définition de la rotation
Une rotation est une transformation qui fait tourner une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation, d'un certain angle et dans un sens donné (horaire ou antihoraire).
Pour décrire une rotation, il faut trois éléments :
- le centre : le point autour duquel on tourne ;
- l'angle : la mesure de la rotation (en degrés) ;
- le sens : direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) ou indirect (sens des aiguilles d'une montre).
L'image d'un point M par une rotation de centre O et d'angle α est le point M' tel que :
- OM = OM' (la distance au centre est conservée) ;
- l'angle ∠MOM' mesure α ;
- le sens de rotation est respecté.
À savoir
Le sens direct est aussi appelé sens trigonométrique. C'est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Propriété importante
Une rotation conserve les distances, les angles et l'orientation. L'image d'une figure par rotation est une figure superposable à l'originale.
2Construire l'image d'un point par rotation
Pour construire l'image M' d'un point M par une rotation de centre O et d'angle α (par exemple 90° dans le sens direct) :
- Trace le segment [OM].
- Place ton rapporteur sur O, aligne le 0° avec le segment [OM].
- Mesure l'angle α dans le sens demandé (direct : vers la gauche si O est à gauche de M).
- Repère la direction et trace une demi-droite [Ox) faisant l'angle α avec [OM).
- Sur cette demi-droite, reporte la longueur OM avec le compas : le point obtenu est M'.
Vérifie que OM = OM'.
Erreur fréquente
Ne pas confondre le sens direct et indirect. Le sens direct est celui qui va vers le haut quand on tourne à partir de la droite. Entraîne-toi avec des angles de 90°.
3Propriétés de la rotation
La rotation conserve :
- les longueurs : l'image d'un segment est un segment de même longueur ;
- les angles : l'image d'un angle est un angle de même mesure ;
- le parallélisme : deux droites parallèles ont des images parallèles ;
- l'orthogonalité : deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires.
L'image d'une figure par rotation est une figure superposable à la figure initiale. La rotation est donc une isométrie.
À retenir
L'image d'une droite par rotation est une droite. L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
4Exemples de rotations
Exemple 1 : Rotation d'un point A autour de O de 90° dans le sens direct. On obtient A' tel que OA = OA' et ∠AOA' = 90°.
Exemple 2 : Rotation d'un triangle ABC de centre O et d'angle 60° sens indirect. Chaque sommet est transformé : A→A', B→B', C→C'. Le triangle A'B'C' est superposable à ABC.
Exemple dans la vie courante : Les aiguilles d'une montre tournent autour du centre du cadran. Une rotation de 90° correspond à un quart d'heure pour la grande aiguille.
L'essentiel à retenir
- Une rotation est définie par un centre, un angle et un sens.
- L'image d'un point M est M' tel que OM = OM' et ∠MOM' = angle de rotation.
- La rotation conserve les longueurs, les angles, le parallélisme et l'orthogonalité.
- Pour construire l'image d'un point, on utilise un rapporteur et un compas.
- L'image d'une figure par rotation est superposable à la figure initiale.
