Tu as déjà vu des photos que l'on agrandit ou que l'on réduit ? En géométrie, l'homothétie permet de transformer une figure en une figure de même forme, mais de taille différente. On va apprendre à construire l'image d'un point, d'un segment ou d'une figure par une homothétie.
1Définition de l'homothétie
Une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe appelé centre et d'un nombre appelé rapport.
On note une homothétie de centre O et de rapport k : hO,k.
- Si k > 1, la figure est agrandie.
- Si 0 < k < 1, la figure est réduite.
- Si k = 1, la figure est identique.
- Si k < 0, la figure est inversée (de l'autre côté du centre).
À retenir
Le rapport k est un nombre réel non nul. Le centre O est un point fixe.
2Image d'un point par une homothétie
Pour construire l'image M' d'un point M par l'homothétie de centre O et de rapport k :
- On trace la demi-droite [OM).
- On place M' sur cette demi-droite tel que OM' = |k| × OM.
- Si k > 0, M' est du même côté que M par rapport à O.
- Si k < 0, M' est du côté opposé.
Exemple : O est le centre, k = 2. Si OM = 3 cm, alors OM' = 2 × 3 = 6 cm.
Astuce
Utilise une règle graduée et une équerre si nécessaire pour mesurer précisément.
3Image d'une figure
Pour construire l'image d'une figure par une homothétie, on construit l'image de chaque point remarquable (sommets, centres, etc.) puis on relie les points images dans le même ordre.
Propriétés :
- L'image d'une droite est une droite parallèle.
- L'image d'un segment est un segment parallèle, de longueur multipliée par |k|.
- L'image d'un cercle est un cercle de rayon multiplié par |k|.
- Les angles sont conservés.
Attention
Si k est négatif, la figure est inversée : les distances sont multipliées par |k|, mais la figure se trouve de l'autre côté du centre.
4Méthode pour construire une homothétie
Voici les étapes à suivre :
- Repère le centre O et le rapport k.
- Pour chaque point M de la figure, trace la demi-droite [OM) (ou [MO) si k < 0).
- Mesure la distance OM.
- Calcule OM' = |k| × OM.
- Place M' sur la demi-droite à la distance calculée.
- Relie les points images dans le même ordre que la figure initiale.
À retenir
L'homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et les angles. Seules les longueurs sont multipliées par |k|.
L'essentiel à retenir
- Une homothétie est définie par un centre O et un rapport k.
- L'image d'un point M est le point M' sur la droite (OM) tel que OM' = |k| × OM.
- Si k > 0, l'image est du même côté ; si k < 0, elle est de l'autre côté.
- L'image d'une figure a des longueurs multipliées par |k|, mais les angles sont conservés.
- Pour construire l'image, on construit point par point puis on relie.
