Les limites permettent de décrire le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une valeur ou tend vers l'infini. C'est un outil fondamental pour l'étude des fonctions et le calcul des asymptotes.
1Limite à l'infini
On s'intéresse à la limite d'une fonction f quand x tend vers +∞ ou −∞.
- Limite finie : si f(x) se rapproche d'un nombre réel L quand x devient grand, on écrit : limx→+∞ f(x) = L.
- Limite infinie : si f(x) devient aussi grand que l'on veut, on écrit : limx→+∞ f(x) = +∞ (ou −∞).
Exemples : limx→+∞ 1/x = 0, limx→+∞ x² = +∞.
Asymptote horizontale
Si la limite en +∞ est un réel L, la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la courbe.
2Limite en un point
On étudie le comportement de f quand x s'approche d'un réel a (sans nécessairement l'atteindre).
- Limite finie : limx→a f(x) = L signifie que f(x) se rapproche de L quand x tend vers a.
- Limite infinie : limx→a f(x) = +∞ signifie que f(x) devient très grand.
Exemple : limx→0 1/x² = +∞.
Limite à gauche et à droite
Parfois la limite n'est pas la même selon qu'on approche par la gauche (x < a) ou par la droite (x > a). On note alors lim<sub>x→a⁻</sub> et lim<sub>x→a⁺</sub>.
3Opérations sur les limites
Soient f et g deux fonctions ayant des limites (finies ou infinies) en un point ou à l'infini. On peut additionner, multiplier, composer, etc., sous réserve de ne pas tomber sur une forme indéterminée.
- Somme : si lim f = L et lim g = M, alors lim (f+g) = L+M.
- Produit : lim (f×g) = L×M.
- Quotient : si M ≠ 0, lim (f/g) = L/M.
Attention aux formes indéterminées : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0. Elles nécessitent une transformation.
Formes indéterminées courantes
Les quatre formes : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0. On les lève en factorisant, en utilisant la quantité conjuguée ou en simplifiant.
4Théorèmes de comparaison
Ces théorèmes permettent de déterminer une limite par encadrement ou par comparaison.
- Théorème des gendarmes : si pour x proche de a (ou assez grand) on a u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si u et v ont la même limite L, alors f a pour limite L.
- Comparaison à une fonction tendant vers l'infini : si f(x) ≥ g(x) et g(x) → +∞, alors f(x) → +∞.
Exemple : pour f(x) = sin(x)/x, on a −1/x ≤ f(x) ≤ 1/x et les deux bornes tendent vers 0, donc limx→+∞ f(x) = 0.
Utilisation pratique
Le théorème des gendarmes est souvent utilisé avec des fonctions trigonométriques ou des valeurs absolues.
L'essentiel à retenir
- La limite d'une fonction décrit son comportement quand x tend vers une valeur ou l'infini.
- Une limite peut être finie (un nombre réel) ou infinie (+∞ ou −∞).
- Les opérations sur les limites sont valables sauf formes indéterminées.
- Le théorème des gendarmes permet de trouver une limite par encadrement.
- Les asymptotes horizontales et verticales sont liées aux limites.
