La fonction carrée est une des premières fonctions non linéaires que tu étudies. Elle est définie par f(x) = x². Dans ce chapitre, tu vas apprendre à calculer des images, tracer sa courbe et découvrir ses propriétés.
1Définition de la fonction carrée
La fonction carrée est la fonction qui, à tout nombre réel x, associe son carré x². On la note : f : x → x² ou f(x) = x².
L'ensemble de définition est l'ensemble de tous les nombres réels, noté ℝ. Pour tout x, x² est toujours positif ou nul.
À retenir
f(x) = x² est définie pour tout x réel. Le carré d'un nombre est toujours ≥ 0.
2Représentation graphique
La courbe de la fonction carrée est une parabole. Elle a pour sommet l'origine du repère (0 ; 0). Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Pour tracer la courbe, on calcule quelques valeurs :
- f(0) = 0
- f(1) = 1
- f(2) = 4
- f(3) = 9
- f(-1) = 1
- f(-2) = 4
- f(-3) = 9
On place ces points dans un repère et on les relie par une courbe lisse.
Symétrie
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées car f(-x) = (-x)² = x² = f(x).
3Variations de la fonction carrée
La fonction carrée est décroissante sur l'intervalle ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
Tableau de variations :
- Pour x de -∞ à 0 : f(x) diminue de +∞ à 0.
- Pour x de 0 à +∞ : f(x) augmente de 0 à +∞.
Le minimum de la fonction est 0, atteint en x = 0.
À retenir
f(x) = x² est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. Minimum : 0 en x=0.
4Résoudre des équations et inéquations avec x²
Équation x² = a :
- Si a < 0 : pas de solution.
- Si a = 0 : une solution x = 0.
- Si a > 0 : deux solutions x = √a et x = -√a.
Inéquation x² < a (avec a > 0) : solutions dans ]-√a ; √a[.
Inéquation x² > a (avec a > 0) : solutions dans ]-∞ ; -√a[ ∪ ]√a ; +∞[.
Attention
Ne pas oublier que √a est toujours positif. Les solutions de x² = 4 sont x = 2 et x = -2.
L'essentiel à retenir
- La fonction carrée est définie par f(x) = x² pour tout x réel.
- Sa courbe est une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, de sommet (0 ; 0).
- Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
- L'équation x² = a a 0, 1 ou 2 solutions selon le signe de a.
- Les inéquations avec x² se résolvent en utilisant les racines carrées.
