Une fonction affine est une des fonctions les plus simples que tu rencontreras en mathématiques. Elle permet de modéliser des situations où une grandeur varie de manière constante par rapport à une autre. Par exemple, le prix d’un abonnement téléphonique (un forfait fixe + un coût par minute) est une fonction affine du nombre de minutes. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître, représenter et calculer avec les fonctions affines.
1Définition d’une fonction affine
Une fonction affine est une fonction qui peut s’écrire sous la forme :
f(x) = a x + b
où a et b sont des nombres donnés (appelés coefficients).
- a est le coefficient directeur (ou pente). Il indique de combien augmente (ou diminue) l’image quand x augmente de 1.
- b est l’ordonnée à l’origine. C’est la valeur de f(0), c’est-à-dire l’image de 0.
Exemple : f(x) = 2x + 3 est une fonction affine avec a = 2 et b = 3.
À retenir
Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. Ne confonds pas avec une fonction linéaire (b = 0) ou constante (a = 0).
2Représentation graphique
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Pour tracer cette droite, il suffit de connaître deux points. On peut calculer les coordonnées de deux points en choisissant deux valeurs de x et en calculant leurs images.
Exemple : pour f(x) = 2x + 3, prenons x = 0 → f(0) = 3 → point A(0 ; 3). Prenons x = 1 → f(1) = 5 → point B(1 ; 5). On place ces points dans un repère et on trace la droite passant par A et B.
Le coefficient directeur a indique la pente : si a > 0, la droite monte ; si a < 0, elle descend. L’ordonnée à l’origine b est l’endroit où la droite coupe l’axe des ordonnées (axe vertical).
Astuce
Pour tracer rapidement, utilise le point (0 ; b) puis avance de 1 en x et de a en y (vers le haut si a positif, vers le bas si a négatif).
3Calculer une image ou un antécédent
Image : Pour calculer l’image d’un nombre x, on remplace x par ce nombre dans l’expression de la fonction.
Exemple : f(x) = 2x + 3, image de 4 : f(4) = 2×4 + 3 = 8 + 3 = 11.
Antécédent : Pour trouver l’antécédent d’un nombre y, on résout l’équation f(x) = y.
Exemple : antécédent de 7 par f(x) = 2x + 3 : on résout 2x + 3 = 7 → 2x = 4 → x = 2. Donc l’antécédent de 7 est 2.
Attention
Ne confonds pas image et antécédent. L’image est le résultat (y), l’antécédent est la valeur de départ (x).
4Déterminer une fonction affine à partir de deux points
Si on connaît deux points de la droite, on peut retrouver les coefficients a et b.
Méthode :
- Calculer a avec la formule : a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
- Ensuite, remplacer x et y par les coordonnées d’un des points dans l’équation y = a x + b pour trouver b.
Exemple : points A(1 ; 5) et B(3 ; 11).
a = (11 - 5) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
Avec A : 5 = 3×1 + b → b = 2. Donc f(x) = 3x + 2.
À retenir
Le coefficient directeur a = (différence des y) / (différence des x). L’ordonnée à l’origine b se trouve ensuite en remplaçant dans l’équation.
L'essentiel à retenir
- Une fonction affine s'écrit f(x) = a x + b.
- Sa représentation graphique est une droite.
- Le coefficient a est la pente, b est l'ordonnée à l'origine.
- Pour calculer une image, on remplace x ; pour un antécédent, on résout une équation.
- On peut déterminer a et b à partir de deux points.
