La dérivation est un outil fondamental pour étudier les variations d'une fonction. Elle permet de calculer la pente de la tangente à une courbe en un point, et ainsi de déterminer les extremums locaux. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à calculer des dérivées et à les utiliser pour étudier le sens de variation d'une fonction.
1Définition : Taux d'accroissement et nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I. Pour un réel h non nul tel que a+h appartienne à I, on appelle taux d'accroissement de f entre a et a+h le quotient :
τ(h) = (f(a+h) - f(a)) / h
Si ce taux admet une limite finie lorsque h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, noté f'(a).
Géométriquement, f'(a) est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
Interprétation graphique
Le taux d'accroissement est la pente de la sécante passant par les points (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)). Quand h tend vers 0, la sécante devient tangente.
2Fonction dérivée
Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, on peut définir une nouvelle fonction, appelée fonction dérivée de f, notée f', qui à tout x de I associe le nombre dérivé f'(x).
Voici les dérivées des fonctions usuelles à connaître :
- Si f(x) = k (constante), alors f'(x) = 0
- Si f(x) = x, alors f'(x) = 1
- Si f(x) = xn (n entier naturel), alors f'(x) = n xn-1
- Si f(x) = 1/x (x ≠ 0), alors f'(x) = -1/x2
- Si f(x) = √x (x > 0), alors f'(x) = 1/(2√x)
À retenir
La dérivée d'une constante est toujours nulle. La dérivée de x est 1.
3Opérations sur les dérivées
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et k une constante réelle. Alors :
- Somme : (u + v)' = u' + v'
- Produit par une constante : (k u)' = k u'
- Produit : (u v)' = u' v + u v'
- Inverse : (1/v)' = -v' / v2 (si v(x) ≠ 0)
- Quotient : (u/v)' = (u' v - u v') / v2 (si v(x) ≠ 0)
Attention
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées ! Il faut appliquer la formule (uv)' = u'v + uv'.
4Lien entre dérivée et variations
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si f'(x) ≥ 0 pour tout x de I, alors f est croissante sur I.
- Si f'(x) ≤ 0 pour tout x de I, alors f est décroissante sur I.
- Si f'(x) = 0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.
Pour étudier les variations d'une fonction, on calcule sa dérivée, on étudie le signe de celle-ci, puis on dresse le tableau de variations.
Méthode
Pour étudier les variations : 1) Calculer f'(x). 2) Déterminer le signe de f'(x) (factoriser, tableau de signes). 3) En déduire le sens de variation de f.
5Équation de la tangente
Si f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y = f'(a)(x - a) + f(a)
Cette formule permet de déterminer l'équation de la tangente en un point.
À retenir
L'équation de la tangente s'obtient en utilisant le nombre dérivé f'(a) comme coefficient directeur.
L'essentiel à retenir
- Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0.
- La fonction dérivée f' est obtenue en dérivant f en tout point de son domaine.
- Les dérivées des fonctions usuelles (constante, x, x^n, 1/x, √x) sont à connaître.
- Les opérations (somme, produit, quotient) ont des formules spécifiques.
- Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.
- L'équation de la tangente est y = f'(a)(x - a) + f(a).
