La continuité est une propriété fondamentale des fonctions. Elle permet de modéliser des phénomènes sans saut et est essentielle pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître une fonction continue, à utiliser la continuité pour résoudre des équations et à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
1Définition de la continuité
Une fonction f est dite continue en un point a de son domaine de définition si la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à f(a).
Autrement dit : f est continue en a si f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de f(a) à condition que x soit suffisamment proche de a.
Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
Graphiquement, la courbe d'une fonction continue se trace sans lever le crayon.
À retenir
Continuité en un point : limite = valeur.
2Propriétés des fonctions continues
Les fonctions polynômes, rationnelles (sur leur domaine), trigonométriques, exponentielle et logarithme sont continues sur leur ensemble de définition.
La somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) et la composée de fonctions continues sont continues.
Si f est continue sur un intervalle fermé [a ; b], alors f atteint ses bornes (minimum et maximum) sur cet intervalle.
Info
Les fonctions usuelles sont continues là où elles sont définies.
3Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c dans [a ; b] tel que f(c) = k.
En particulier, si f(a) et f(b) sont de signes contraires, l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a ; b[.
Si de plus f est strictement monotone sur [a ; b], alors la solution est unique.
Attention
Le TVI nécessite la continuité sur un intervalle fermé.
4Méthode : Appliquer le TVI pour résoudre une équation
Étape 1 : Vérifier que f est continue sur l'intervalle considéré.
Étape 2 : Calculer f(a) et f(b).
Étape 3 : Vérifier que k est compris entre f(a) et f(b).
Étape 4 : Conclure qu'il existe au moins un c tel que f(c) = k.
Étape 5 : Si f est strictement monotone, ajouter l'unicité.
L'essentiel à retenir
- Une fonction est continue en un point si sa limite en ce point égale sa valeur.
- Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition.
- Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer l'existence de solutions pour des équations du type f(x)=k.
- Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], alors pour tout k entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k a une unique solution.
- La continuité est nécessaire pour appliquer le TVI.
