En 4e, tu as appris à résoudre des équations à une inconnue. Mais parfois, un problème a deux inconnues. Par exemple : « J'achète 3 pommes et 2 bananes, je paie 7 €. Une autre fois, j'achète 1 pomme et 4 bananes, je paie 5 €. Combien coûtent une pomme et une banane ? » Pour répondre, tu dois trouver deux nombres qui vérifient en même temps deux équations. C'est ce qu'on appelle un système d'équations. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les résoudre par substitution et par combinaison.
1Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations qui contiennent les mêmes inconnues, généralement notées x et y.
Il se présente sous la forme :
Exemple :
⎧ 3x + 2y = 7
⎨ x + 4y = 5
Résoudre un système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient les deux équations en même temps.
À retenir
Un système a deux équations et deux inconnues. La solution est un couple (x ; y).
2Méthode par substitution
La substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis à remplacer dans l'autre équation.
Étapes :
- Choisis une équation et isole une inconnue (par exemple x = ...).
- Remplace cette inconnue dans l'autre équation.
- Résous l'équation à une inconnue obtenue.
- Trouve la deuxième inconnue en utilisant l'expression du 1.
Conseil
Choisis l'équation où une inconnue a pour coefficient 1 ou -1 pour éviter les fractions.
3Méthode par combinaison (ou addition)
La combinaison linéaire consiste à additionner ou soustraire les deux équations après les avoir multipliées par des nombres choisis pour éliminer une inconnue.
Étapes :
- Multiplie chaque équation par un nombre pour que les coefficients d'une inconnue soient opposés (ou égaux).
- Additionne (ou soustrais) les deux équations pour éliminer cette inconnue.
- Résous l'équation à une inconnue obtenue.
- Trouve la deuxième inconnue en remplaçant dans une équation originale.
À retenir
On peut multiplier une équation par n'importe quel nombre non nul sans changer la solution.
4Exemple corrigé pas à pas
Problème : Résous le système :
⎧ 3x + 2y = 7
⎨ x + 4y = 5
Par substitution :
- Dans la 2e équation, x = 5 – 4y.
- On remplace dans la 1re : 3(5 – 4y) + 2y = 7.
- On développe : 15 – 12y + 2y = 7 → 15 – 10y = 7 → –10y = 7 – 15 = –8 → y = (–8)/(–10) = 0,8.
- On trouve x : x = 5 – 4×0,8 = 5 – 3,2 = 1,8.
- Solution : (1,8 ; 0,8).
Par combinaison :
- On veut éliminer x. Multiplions la 2e équation par –3 : –3x – 12y = –15.
- Additionnons avec la 1re : (3x – 3x) + (2y – 12y) = 7 – 15 → –10y = –8 → y = 0,8.
- Remplaçons dans la 2e : x + 4×0,8 = 5 → x + 3,2 = 5 → x = 1,8.
- Même solution.
Attention
Vérifie toujours ta solution en remplaçant dans les deux équations originales.
5Erreurs fréquentes
- Oublier de distribuer le signe négatif : Par exemple, si x = 5 – 4y, alors 3x = 3×(5 – 4y) = 15 – 12y, pas 15 – 4y.
- Multiplier une seule équation : Quand on multiplie, on multiplie tous les termes de l'équation.
- Confondre addition et soustraction : Si les coefficients sont égaux, on soustrait ; s'ils sont opposés, on additionne.
L'essentiel à retenir
- Un système de deux équations à deux inconnues a pour solution un couple (x ; y).
- La méthode par substitution isole une inconnue puis la remplace.
- La méthode par combinaison élimine une inconnue en additionnant les équations.
- Toujours vérifier la solution dans les deux équations.
