Tu sais déjà résoudre des équations. Maintenant, tu vas apprendre à résoudre des inéquations. Une inéquation, c'est comme une équation, mais avec un signe d'inégalité ( <, >, ≤, ≥ ) à la place du signe égal. Le but est de trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie.
1Définition d'une inéquation
Une inéquation est une inégalité qui contient une lettre (l'inconnue). Par exemple : 2x + 3 > 7.
Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'inégalité. L'ensemble des solutions s'écrit souvent sous forme d'intervalle.
Les signes d'inégalité : < (strictement inférieur), > (strictement supérieur), ≤ (inférieur ou égal), ≥ (supérieur ou égal).
À retenir
Une inéquation a généralement une infinité de solutions (un intervalle).
2Résoudre une inéquation du premier degré
On résout une inéquation comme une équation, avec une règle supplémentaire : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.
Méthode :
- On isole l'inconnue en ajoutant ou soustrayant des termes des deux côtés (le sens ne change pas).
- On multiplie ou divise par un nombre non nul. Si ce nombre est négatif, on inverse le signe de l'inégalité.
Exemple : résoudre -3x ≤ 12. On divise par -3 (négatif) : x ≥ -4. Le sens a changé.
Attention !
Ne pas oublier de changer le sens quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
3Représentation des solutions sur une droite graduée
Les solutions d'une inéquation se représentent sur une droite graduée.
- On place la valeur frontière (par exemple 4 dans x > 4).
- Si l'inégalité est stricte (< ou >), on met un cercle vide sur la valeur.
- Si l'inégalité est large (≤ ou ≥), on met un cercle plein.
- On hachure la partie de la droite qui correspond aux solutions.
Exemple : x ≤ 2 → cercle plein en 2, hachure vers la gauche.
Astuce
Pense au sens du signe : <em>x > a</em> → solutions à droite de a ; <em>x < a</em> → à gauche.
4Écriture des solutions sous forme d'intervalle
L'ensemble des solutions peut s'écrire avec des intervalles.
- Si x > 4, l'intervalle est ]4 ; +∞[ (4 exclu).
- Si x ≥ 4, l'intervalle est [4 ; +∞[ (4 inclus).
- Si x < -1, l'intervalle est ]-∞ ; -1[.
- Si x ≤ -1, l'intervalle est ]-∞ ; -1].
Les crochets sont tournés vers l'intérieur quand la valeur est incluse, vers l'extérieur quand elle est exclue. L'infini a toujours un crochet ouvert.
À savoir
L'infini (∞) n'est jamais atteint, donc le crochet est toujours ouvert.
L'essentiel à retenir
- Une inéquation est une inégalité avec une inconnue.
- On résout une inéquation comme une équation, mais en inversant le sens quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
- Les solutions se représentent sur une droite graduée avec un cercle vide (strict) ou plein (large).
- L'ensemble des solutions s'écrit sous forme d'intervalle.
