Les identités remarquables sont des formules qui permettent de développer ou factoriser des expressions plus rapidement. Elles sont très utiles en algèbre.
1Définition
Une identité remarquable est une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres. Les trois principales sont :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a + b)(a - b) = a² - b²
Ces formules permettent de développer ou factoriser rapidement.
À retenir
Les trois formules sont à connaître par cœur.
2Développer avec les identités remarquables
Développer, c'est transformer un produit en somme. Exemple : (x + 3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9.
Pour (a - b)², attention au signe : (x - 5)² = x² - 2×x×5 + 5² = x² - 10x + 25.
Pour (a + b)(a - b) : (2x + 1)(2x - 1) = (2x)² - 1² = 4x² - 1.
Méthode
Identifie a et b, puis applique la formule sans oublier le double produit.
3Factoriser avec les identités remarquables
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On reconnaît une expression de la forme a² + 2ab + b², a² - 2ab + b² ou a² - b².
Exemple : x² + 6x + 9 = (x + 3)² car x² + 2×x×3 + 3².
Exemple : 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x + 5)(2x - 5).
Attention
Vérifie que le premier terme et le dernier sont des carrés parfaits.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le double produit : (a + b)² ≠ a² + b².
- Confondre (a - b)² et a² - b².
- Mal identifier a et b : dans (3x + 2)², a = 3x, b = 2.
Piège
Ne pas oublier que (3x)² = 9x², pas 3x².
L'essentiel à retenir
- Les trois identités remarquables sont : (a + b)², (a - b)², (a + b)(a - b).
- Pour développer, applique la formule en calculant le double produit.
- Pour factoriser, repère un carré parfait et utilise la formule inverse.
- Attention aux signes et aux coefficients.
