Une équation du second degré est une équation où l'inconnue x apparaît au carré. Par exemple : 2x² + 3x – 5 = 0. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les résoudre en utilisant la factorisation et la propriété du produit nul.
1Définition et forme générale
Une équation du second degré s'écrit sous la forme : ax² + bx + c = 0, avec a, b et c des nombres réels et a ≠ 0.
- a est le coefficient du terme en x².
- b est le coefficient du terme en x.
- c est le terme constant.
Exemple : dans 2x² + 3x – 5 = 0, on a a = 2, b = 3, c = –5.
À savoir
Si a = 0, l'équation devient bx + c = 0 : c'est une équation du premier degré, pas du second.
2Propriété du produit nul
Pour résoudre une équation du second degré, on utilise souvent la factorisation. La propriété clé est :
Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un des facteurs est nul.
Autrement dit : si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0.
Exemple : (x – 3)(2x + 1) = 0 donne x – 3 = 0 ou 2x + 1 = 0, donc x = 3 ou x = –0,5.
À retenir
Toujours vérifier que le produit est bien égal à zéro avant d'appliquer la propriété.
3Factorisation d'un trinôme du second degré
Pour factoriser ax² + bx + c, on cherche deux nombres r et s tels que :
- leur somme soit égale à b (avec le signe) ;
- leur produit soit égal à a × c.
Ensuite, on écrit : ax² + bx + c = a(x – r)(x – s).
Exemple : factorisons x² – 5x + 6. On cherche deux nombres dont la somme est –5 et le produit 6. Ce sont –2 et –3. Donc x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Attention
Cette méthode ne fonctionne que si le trinôme est factorisable dans les réels. Sinon, on ne peut pas le factoriser avec des nombres entiers.
4Résolution étape par étape
Pour résoudre une équation du second degré :
- Mets l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 (tous les termes à gauche).
- Factorise le trinôme si possible.
- Applique la propriété du produit nul.
- Résous chaque équation du premier degré.
- Donne les solutions sous forme d'ensemble : S = { ... }.
Exemple complet
Résous 2x² + 5x – 3 = 0. On cherche deux nombres de somme 5 et produit 2 × (–3) = –6. Ces nombres sont 6 et –1. On réécrit : 2x² + 6x – x – 3 = 0, puis on factorise par groupes : 2x(x + 3) – 1(x + 3) = (x + 3)(2x – 1) = 0. Donc x + 3 = 0 ou 2x – 1 = 0, soit x = –3 ou x = 0,5. S = { –3 ; 0,5 }.
L'essentiel à retenir
- Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
- On la résout en factorisant puis en utilisant la propriété du produit nul.
- La factorisation se fait en trouvant deux nombres dont la somme est b et le produit a × c.
- Les solutions sont les valeurs qui annulent chaque facteur.
