Une équation est une égalité qui contient une lettre, appelée inconnue. Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de cette lettre pour que l'égalité soit vraie. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à résoudre des équations du premier degré à une inconnue.
1Définition et vocabulaire
Une équation est une égalité dans laquelle figure une ou plusieurs inconnues (souvent notées x).
Exemple : 3x + 2 = 8 est une équation d'inconnue x.
- Membre de gauche : tout ce qui est avant le signe « = » (ici 3x + 2).
- Membre de droite : tout ce qui est après le signe « = » (ici 8).
- Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
À savoir
Une équation du premier degré ne contient que des termes en <em>x</em> (puissance 1) et des nombres constants.
2Propriétés de l'égalité
Pour résoudre une équation, on utilise deux propriétés fondamentales :
- Si on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres d'une égalité, l'égalité reste vraie.
- Si on multiplie ou divise les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul, l'égalité reste vraie.
Ces propriétés permettent d'isoler l'inconnue.
À retenir
Toute opération faite sur un membre doit être faite sur l'autre membre.
3Méthode de résolution
Voici les étapes pour résoudre une équation du type ax + b = c :
- Isoler le terme en x : ajouter ou soustraire le nombre b des deux côtés.
- Diviser par le coefficient de x : si a ≠ 0, diviser les deux membres par a.
- Vérifier : remplacer x par la valeur trouvée dans l'équation initiale.
Exemple : Résoudre 3x + 2 = 8.
- On soustrait 2 des deux côtés : 3x + 2 - 2 = 8 - 2 → 3x = 6.
- On divise par 3 : 3x / 3 = 6 / 3 → x = 2.
- Vérification : 3×2 + 2 = 6 + 2 = 8, c'est correct.
Attention
Ne pas oublier de vérifier la solution. Une erreur de signe est fréquente.
4Équations avec parenthèses
Si l'équation contient des parenthèses, on commence par les supprimer en appliquant la distributivité.
Exemple : 2(x + 3) = 10.
- On développe : 2x + 6 = 10.
- On soustrait 6 : 2x = 4.
- On divise par 2 : x = 2.
- Vérification : 2(2+3) = 2×5 = 10, correct.
Rappel
La distributivité : <em>a(b + c) = ab + ac</em>.
5Cas particuliers
Certaines équations n'ont pas de solution ou en ont une infinité.
- Aucune solution : si après simplification on obtient une égalité fausse, comme 0 = 5. Exemple : x + 2 = x + 3 → 2 = 3 (faux).
- Infinité de solutions : si on obtient une égalité toujours vraie, comme 0 = 0. Exemple : 2x + 4 = 2(x + 2) → 2x + 4 = 2x + 4 → 0 = 0.
Attention
Ne pas conclure trop vite. Toujours simplifier complètement avant de décider.
L'essentiel à retenir
- Une équation est une égalité avec une inconnue.
- Pour résoudre, on isole l'inconnue en utilisant les propriétés de l'égalité.
- On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre.
- Toujours vérifier la solution trouvée.
- Certaines équations n'ont pas de solution ou en ont une infinité.
