Développer une expression littérale, c'est transformer un produit en une somme ou une différence. Par exemple, passer de 3 × (x + 2) à 3x + 6. Cette technique est très utile pour simplifier des calculs et résoudre des équations. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à développer avec la distributivité simple et la double distributivité.
1La distributivité simple
La distributivité simple permet de développer une expression de la forme k × (a + b) ou k × (a − b). La règle est :
- k × (a + b) = k × a + k × b
- k × (a − b) = k × a − k × b
On distribue le facteur k à chaque terme de la parenthèse.
Exemple : Développe 5 × (x + 3).
5 × (x + 3) = 5 × x + 5 × 3 = 5x + 15.
À savoir
Le signe devant le nombre dans la parenthèse est important : si c'est une soustraction, on soustrait le produit.
À retenir
k × (a + b) = k × a + k × b
2La double distributivité
La double distributivité permet de développer un produit de deux sommes : (a + b) × (c + d). La règle est :
- (a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d
On distribue chaque terme de la première parenthèse à chaque terme de la seconde.
Exemple : Développe (x + 2)(x + 3).
(x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
Méthode
Pour ne rien oublier, tu peux utiliser un tableau ou faire des flèches entre les termes.
Attention
N'oublie pas de réduire les termes semblables après développement (comme 3x et 2x).
3Attention aux signes
Quand il y a des signes négatifs, il faut être très prudent. Par exemple :
- (x − 3)(x + 2) = x × x + x × 2 + (−3) × x + (−3) × 2 = x² + 2x − 3x − 6 = x² − x − 6.
- −2(x − 4) = (−2) × x + (−2) × (−4) = −2x + 8.
Rappelle-toi : moins × moins donne plus.
Piège fréquent
Quand tu distribues un signe négatif, n'oublie pas de changer le signe de chaque terme dans la parenthèse.
4Réduire après développement
Après avoir développé, il faut souvent réduire l'expression : regrouper les termes de même nature (les x² ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble).
Exemple : Développe et réduis (2x + 1)(x − 3).
Développement : (2x + 1)(x − 3) = 2x × x + 2x × (−3) + 1 × x + 1 × (−3) = 2x² − 6x + x − 3.
Réduction : 2x² + (−6x + x) − 3 = 2x² − 5x − 3.
À retenir
Toujours réduire après avoir développé : regroupe les termes semblables.
L'essentiel à retenir
- Développer transforme un produit en somme ou différence.
- Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb.
- Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Attention aux signes négatifs : moins × moins = plus.
- Toujours réduire l'expression après développement.
