En mathématiques, une démonstration est un raisonnement logique qui permet de prouver qu'une affirmation est vraie. Ce chapitre t'apprend les bases du raisonnement déductif, les différents types de démonstrations et les erreurs à éviter.
1Le raisonnement déductif
Le raisonnement déductif part de hypothèses (ce que l'on sait) et utilise des règles logiques pour arriver à une conclusion certaine.
- Hypothèse : proposition admise comme vraie pour le raisonnement.
- Conclusion : proposition que l'on veut démontrer.
- Implication : si hypothèse alors conclusion (notée ⇒).
Exemple : Si un quadrilatère a trois angles droits (hypothèse), alors c'est un rectangle (conclusion).
À savoir
Une démonstration ne dépend pas de l'intuition ou de l'expérience, seulement de la logique.
2Les différents types de démonstrations
Il existe plusieurs méthodes pour démontrer une affirmation.
- Démonstration directe : on part des hypothèses et on enchaîne des implications logiques jusqu'à la conclusion.
- Démonstration par contraposée : on démontre que si la conclusion est fausse, alors les hypothèses sont fausses. C'est équivalent à démontrer l'implication directe.
- Démonstration par l'absurde : on suppose que la conclusion est fausse et on arrive à une contradiction avec les hypothèses.
- Démonstration par récurrence : utilisée pour les propriétés dépendant d'un entier naturel (vue en terminale).
À retenir
La contraposée de « Si A alors B » est « Si non B alors non A ». Les deux sont logiquement équivalentes.
3Erreurs fréquentes à éviter
- Affirmer la conséquence : de « Si A alors B » et « B vrai », on ne peut pas conclure que A est vrai. Exemple : « S'il pleut, le sol est mouillé. Le sol est mouillé, donc il a plu. » Faux : le sol peut être mouillé pour d'autres raisons.
- Nier l'antécédent : de « Si A alors B » et « A faux », on ne peut pas conclure que B est faux. Exemple : « S'il pleut, le sol est mouillé. Il ne pleut pas, donc le sol n'est pas mouillé. » Faux : le sol peut être mouillé par un arrosage.
- Cercle vicieux : utiliser la conclusion dans la démonstration.
Attention
Ne confonds pas implication et équivalence. L'implication va dans un seul sens.
4Méthodes pour construire une démonstration
- Lis bien l'énoncé : repère les hypothèses et ce que tu dois démontrer.
- Cherche une piste : quelles propriétés connues relient les hypothèses à la conclusion ?
- Rédige clairement : écris chaque étape en justifiant par une propriété ou une règle.
- Vérifie la logique : assure-toi qu'il n'y a pas de saut ou d'erreur.
Exemple : Démontrer que la somme de deux nombres pairs est paire.
Hypothèses : a et b sont pairs. Donc a = 2k, b = 2l (k,l entiers). Alors a+b = 2k+2l = 2(k+l) qui est pair. Conclusion : a+b est pair.
Conseil
Utilise des symboles logiques (⇒, ⇔) pour clarifier ton raisonnement.
L'essentiel à retenir
- Une démonstration est un raisonnement logique qui prouve une affirmation à partir d'hypothèses.
- Les principaux types sont : directe, par contraposée, par l'absurde.
- Évite les erreurs : affirmer la conséquence, nier l'antécédent, cercle vicieux.
- Pour rédiger : identifie hypothèses et conclusion, enchaîne les implications, justifie chaque étape.
